Tồn tại một toàn cấu từ V tới không gian thương V/U gán mỗi phần tử x của V với lớp tương đương của nó [x]. Hạt nhân (kernel hay ker) của toàn cấu này là không gian con U. Quan hệ này được tóm tắt ngắn gọn bởi dãy đúng ngắn sau

0 → U → V → V / U → 0. {\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}

Nếu U là một không gian con của V, số chiều của V/U được ký hiệu là số đối chiều (codimension) của U trong V. Bởi vì một hệ cơ sở của V có thể được lập từ một hệ cơ sở A của U và một hệ cơ sở B của V/U bằng cách cộng thêm một đại diện của từng vectơ của B vào A, số chiều của V là tổng của số chiều của U và V/U. Nếu V là hữu hạn chiều, suy ra rằng codim của U trong V bằng hiệu giữa chiều của V và chiều của U (Halmos 1974, Theorem 22.2)

c o d i m ( U ) = dim ⁡ ( V / U ) = dim ⁡ ( V ) − dim ⁡ ( U ) . {\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}

Cho T: V → W là một toán tử tuyến tính. Hạt nhân của T, ký hiệu là ker(T), được định nghĩa là tập hợp các vectơ x ∈ V sao cho Tx = 0. Hạt nhân là một không gian con của V. Định lý đẳng cấu thứ nhất của đại số tuyến tính phát biểu rằng không gian thương V/ker(T) đẳng cấu với ảnh của V trong W. Một hệ quả trực tiếp, cho trường hợp không gian hữu hạn chiều, là định lý về hạng và số vô hiệu như sau: số chiều của V bằng số chiều của hạt nhân (nullity của toán tử T) cộng với số chiều của ảnh (hạng hay rank của T).

Cokernel của một toán tử tuyến tính T: V → W được định nghĩa là không gian thương W/im(T).